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Em maio passado, matemáticos se reuniram em uma sala perto do topo do prédio mais alto do Instituto de Tecnologia da Califórnia para se preparar para uma corrida. O Instituto Americano. Matemática estava solicitando questões de um tipo específico: aquelas propícias para explorar a capacidade única da inteligência artificial de analisar possibilidades em uma escala muito maior que a humana. Rachel Pries, matemática da Universidade Estadual do Colorado, subiu ao pódio para apresentar uma candidata particularmente forte. "Este problema estava em aberto há muito, muito tempo", disse ela.
O desafio proposto por ela focava nas profundas conexões entre equações polinomiais como 4x² – 1 = 0 e as simetrias inerentes às suas soluções. Poucos meses após a conferência, ao entrelaçar a intuição humana com a escala da IA, o mistério de décadas seria desvendado.
A sugestão de Pries, conhecida como o problema inverso de Galois, foi inspirada pelo trabalho do matemático francês do século XIX, Évariste Galois, que faleceu aos 20 anos após ser ferido em um duelo a tiros. Ele estudava padrões de simetrias que surgem em equações polinomiais com coeficientes racionais (números que podem ser escritos como frações, como 3 ou 1/2). Os matemáticos sabem há muito tempo que algumas equações polinomiais têm apenas soluções racionais, enquanto outras têm soluções irracionais (como ). Mas o trabalho de Galois classificou os polinômios de forma muito mais precisa. Ao estudar suas soluções, ele isolou simetrias peculiares a cada equação, definindo o que eventualmente ficou conhecido como "grupos de Galois".
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Considere a equação x² + 1 = 0, que tem soluções imaginárias — chamadas raízes — de +i e –i, onde i =.
Imagine invadir uma biblioteca de matemática e vasculhar todos os livros de matemática já escritos. Você secretamente substitui cada i por -i e cada -i por i. No final, sua brincadeira falha porque a troca é uma simetria genuína, então todas as equações em cada livro continuam válidas. Combine isso com a simetria de identidade "não fazer nada" e você terá os dois elementos do grupo de Galois de x² + 1.
Quanto mais complexo for um polinômio, mais maneiras existem de reorganizar suas raízes sem que ninguém perceba a diferença, resultando em uma riqueza de simetrias.
Para qualquer polinômio, algoritmos conhecidos permitem identificar seu grupo de Galois. Mas o processo inverso é obscuro: dado um grupo de simetrias de Galois específico, é sempre possível encontrar um polinômio associado? Esse dilema ficou conhecido como o problema inverso de Galois.
A maioria dos grupos de Galois se organiza em famílias ordenadas. Embaralhe três raízes polinomiais e você obtém um grupo; embaralhe quatro e você obtém o próximo grupo; e assim por diante, subindo uma escada. Mas 26 grupos diferentes se recusam a seguir uma ordem específica. Os grupos "esporádicos" não pertencem a nenhuma família e não seguem nenhum padrão, sem uma explicação simples para sua existência. Os cinco primeiros grupos esporádicos a serem descobertos foram os grupos de Mathieu: M11, M12, M22, M23 e M24.
Na década de 1980, equipes de matemáticos de todo o mundo descobriram os polinômios correspondentes a 25 dos 26 grupos esporádicos — mas não ao M23. "Há esse último que ainda não foi descoberto", diz Bjorn Poonen, matemático do Instituto de Tecnologia de Massachusetts. "Acho que algumas pessoas até se perguntavam se não existiria nenhum polinômio que definisse o M23".
Após o término das palestras no Caltech, os organizadores pediram aos participantes que apresentassem propostas para os problemas que gostariam de resolver. O problema inverso. Galois rapidamente recebeu muitas propostas. No final, seis participantes que nunca haviam trabalhado juntos se viram formando uma equipe dos sonhos na área da matemática. Pries e Poonen foram acompanhados por Xiaoyu Huang, da Temple University, Blake Jackson, do Instituto de Raciocínio Computacional em Matemática, Kyu-Hwan Lee, da Universidade de Connecticut, e Shaowu Zhang, estudante de doutorado no Caltech.
E antes de três meses se passarem, os mistérios da M23 desmoronaram.
Kyu-Hwan Lee diz: "Isso não era realmente possível há cinco anos".
A equipe usou IA para vasculhar M23 em busca de combinações de simetrias. Dos resultados, eles escolheram o menor conjunto — sete superfícies — e pediram à IA que aproximasse numericamente suas equações. Talvez fosse possível chegar a números exatos? Mas os decimais não resultaram em nada reconhecível. A IA continuou sugerindo mais precisão, mas quando chegaram a 90 dígitos, a memória do computador estava no limite. O projeto foi interrompido. Huang postou uma suspeita no chat da equipe de que a escolha das coordenadas era a culpada. "Acho que Bjorn apontou que poderíamos tentar outra abordagem", disse ela.
O grupo colocou uma série de agentes de IA para trabalhar em novas coordenadas mais harmoniosas. O grupo descreveu o que aconteceu em seguida como "milagroso" em um artigo publicado no servidor de pré-impressão arXiv.org. Huang afirma que a maioria dos agentes falhou, mas um deles retornou entusiasmado com uma das sete superfícies. "Isso pode funcionar!", escreveu o agente.
Com apenas mais alguns passos, o grupo transformou a aproximação da superfície em uma equação explícita e, finalmente, em uma família de polinômios de grau 23 (o que significa que a variável sobe para x23 e há 23 raízes para serem reorganizadas).
A solução M23 é uma pequena, porém poderosa, peça de um enorme quebra-cabeça. Os matemáticos suspeitam da existência de um grupo mestre, o "grupo de Galois absoluto", que descreve as simetrias de todos os polinômios possíveis simultaneamente. Como grupos e polinômios aparecem em toda parte na teoria dos números, mapear esse grupo abrangente é uma das maiores ambições da área. Cada novo grupo que surge de um polinômio aproxima os matemáticos da estrutura do grupo de Galois absoluto.
Em um desenvolvimento paralelo, uma competição colaborativa — aberta tanto a amadores quanto a matemáticos profissionais — foi lançada com o objetivo de encontrar polinômios para cada grupo que atua sobre 24 raízes; o maior desses grupos é o grupo simétrico S24, que contém todas as permutações. Embora M23 fosse um mistério, exemplos de mapeamento de S24 para polinômios já eram abundantes, então a competição se concentrou mais na construção de soluções elegantes e desconhecidas. Cada padrão desse tipo ilumina um fragmento da estrutura do grupo de Galois absoluto. A organização anfitriã da competição, a Fundação para Pesquisa em Ciência e IA (SAIR), foi fundada por cientistas renomados, incluindo o ganhador da Medalha Fields, Terence Tao, um defensor do uso ético da IA na matemática.
Se você escolher um [polinômio] arbitrariamente”, diz Jen Paulhus, matemática do Mount Holyoke College e uma das organizadoras da competição SAIR, “é provável que seu [grupo de Galois] faça parte do grande grupo simétrico. Os grupos interessantes são os pequenos e rígidos, e buscas aleatórias quase nunca os encontram.”
Logo começaram chegando trabalhos de todo o mundo, incluindo desde teóricos de números experientes até amadores que talvez tivessem que pesquisar o que era um grupo de Galois, com soluções que iam desde inteligência artificial até a obstinada capacidade intelectual humana. A primeira fase da competição terminou no final de agosto, com todas as 25.000 relações entre polinômios e grupos de simetria identificadas. "Fiquei um pouco surpreso por termos encontrado todos os grupos que procurávamos na primeira fase", diz Paulhus.
Os vencedores finais foram dois matemáticos alemães. E apesar do uso generalizado de IA como ferramenta ao longo da competição, sua única contribuição para a equipe vencedora foi escrever um script de upload. "A competição era aberta à IA, e mesmo assim foram essas pessoas que se saíram melhor", diz Paulhus. "Como matemático, isso me animou."
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