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A humanidade reflete sobre o infinito desde tempos imemoriais. Chegou até a tentar defini-lo: o que acontece, por exemplo, se aumentarmos continuamente um número em uma unidade? É possível atingir um valor que ultrapasse todos os números naturais? Aliás, o que acontece se diminuirmos continuamente o valor absoluto de um número?
Os registros mais antigos conhecidos sobre tais considerações vêm de Arquimedes, que viveu no século III a.C. Mas os infinitos e seus opostos, valores infinitamente pequenos chamados infinitesimais, tornaram-se verdadeiramente significativos no século XVII, estimulando um dos debates científicos mais intensos que o mundo já viu.
Nas décadas de 1660 e 1670, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz lançaram as bases do que hoje chamamos de cálculo. Este ramo da matemática lida, entre outras coisas, com a medição de figuras geométricas e a investigação de grandezas variáveis.
Naquela época, Newton conduzia pesquisas no Trinity College, em Cambridge. Então, em 1665, a peste bubônica assolou a Europa, forçando a universidade a fechar suas portas. Newton dedicou-se ainda mais intensamente às suas pesquisas durante esse período, fazendo avanços impressionantes em óptica e cinemática e até mesmo desenvolvendo uma teoria da gravitação.
O jovem físico era particularmente fascinado por sistemas variáveis. Para descrevê-los, no entanto, ele precisava de um novo tipo de matemática — que Newton, então com pouco mais de 20 anos, inventou para esse propósito.
Cálculo e Competição
Imagine que você solta uma bola no chão. Sua velocidade aumentará com o tempo à medida que a força gravitacional da Terra a acelera. A distância, s, percorrida pela bola pode ser descrita pela equação do movimento s = 1/2 gt², onde g representa a aceleração da gravidade, que é de 9,81 metros por segundo ao quadrado próximo à superfície da Terra. Para manter as fórmulas o mais concisas possível, omitiremos as unidades e aproximaremos g por 10. Isso nos dá um resultado aproximado de s ≈ 5t² em metros para a distância percorrida.
Mas e se quisermos saber a velocidade da bola depois de ela ter percorrido uma distância de um segundo? Sabemos que a velocidade média, v, de um objeto ao longo de uma distância percorrida é dada pelo tempo que leva para percorrer essa distância: v = s/t. Mas e se a velocidade mudar continuamente e estivermos interessados em v(t) em um instante específico, t?
Newton percebeu que o resultado para a velocidade instantânea se torna mais preciso quando o intervalo de tempo a partir do qual o valor é calculado é menor. Para esse fim, ele acabou introduzindo uma grandeza "infinitesimal" (dt, na notação moderna), que corresponde a um intervalo de tempo minúsculo — menor do que qualquer número comum.
A velocidade no instante t = 1 pode, portanto, ser calculada dividindo-se a distância percorrida entre t = 1 e t = 1 + dt, escrita como s(1 + dt) – s(1), pelo intervalo de tempo dt. Substituindo os valores de t na fórmula da distância, obtemos: s(1 + dt) = 5(1 + dt)2 = 5 + 10dt + 5(dt)2 e s(t = 1) = 5.
Assim, para a velocidade, v, no tempo t = 1, segue-se que: v(t = 1) = (s(1+dt)−s(1)) / dt = (10dt + 5(dt)2) / dt = 10 + 5dt.
O que significa esse resultado, que ainda depende de dt? Segundo Newton, são 10 metros por segundo: ele simplesmente omitiu o termo dt.
Reivindicações e Crédito
Investigações mais detalhadas desses cálculos infinitesimais foram então deixadas de lado por uma disputa entre Leibniz e Newton. Embora Leibniz tivesse publicado sua teoria antes de seu colega inglês, um apoiador de Newton — e posteriormente o próprio Newton — alegou que Leibniz havia visto seu trabalho inédito sobre cálculo infinitesimal antecipadamente e roubado suas ideias.
Posteriormente, a Sociedade Real Britânica lançou uma investigação que afirmou ter confirmado as acusações de Newton. Mas o próprio Newton era presidente da sociedade e escolheu a dedo o comitê de investigação. (Newton, apesar de toda a sua inteligência, também é lembrado por sua crueldade; ele atacou outros contemporâneos brilhantes, incluindo o cientista Robert Hooke.).
A reputação de Leibniz ficou arruinada. Ele morreu em 1716 e seu túmulo permaneceu sem lápide. Somente cerca de 75 anos depois, as pessoas adicionaram a inscrição "OSSA LEIBNITII" (que significa "os ossos de Leibniz").
Hoje, os historiadores da ciência concordam que houve diferenças significativas entre o trabalho de Leibniz e o de Newton sobre o cálculo, concluindo que ambos os cientistas provavelmente chegaram às suas descobertas independentemente um do outro.
Na próxima vez, vou analisar a controvérsia dentro da comunidade matemática em torno do conceito de infinitesimais.
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