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O resultado mais complexo até hoje no campo da teoria dos números parece enganosamente simples: trata-se essencialmente de uma curva e uma reta. Mais tecnicamente falando, é uma curva elíptica com posto de pelo menos 31 — o que significa que é uma curva matemática especial com pelo menos 31 pontos de partida independentes para padrões significativos. Quanto maior o posto, mais complexo o padrão, o que determina como certos pontos se distribuem ao longo dessa curva.
Durante décadas, os matemáticos têm se dedicado a decifrar curvas elípticas com padrões cada vez mais complexos, obtendo progressos muito lentos. Levou mais de 18 anos para passar da classificação 28 para a 29, por exemplo. Mas agora, o matemático Levent Alpöge, que trabalha na empresa de inteligência artificial Anthropic, e a criptógrafa Ava Howell utilizaram o modelo de linguagem Claude, da Anthropic, para apresentar, em apenas alguns dias, uma curva elíptica com classificação de pelo menos 30 e outra com classificação de pelo menos 31.
As curvas elípticas subjacentes às equações parecem bastante simples — têm a forma y² = x³ + Ax + B. No entanto, elas têm ocupado os matemáticos por milênios. De particular interesse é a distribuição de "pontos racionais" nas curvas — isto é, os valores de x e y que podem ser expressos como uma fração e satisfazem a equação.
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As curvas elípticas de posto 0, por exemplo, possuem apenas um número finito de pontos racionais. As curvas de posto 1 possuem infinitos pontos, mas estes seguem um padrão simples. Se você conhece um deles, pode chegar a qualquer outro com truques simples que envolvem reflexão, projeção e conexão dos pontos com retas. Assim, a partir de uma única solução racional, todos os outros pontos racionais podem ser construí. Para uma curva elíptica de posto 2, existem duas famílias independentes de pontos racionais: se você conhece um ponto racional de uma família, pode construir todos os outros pontos dessa família — mas não os pontos da outra família. Portanto, você precisa de dois pontos — um de cada família — para chegar a todos os outros pontos da curva. De forma semelhante, as curvas elípticas de grau 3 têm três famílias independentes, e assim por diante.
Uma questão fundamental em aberto na teoria dos números é se as curvas elípticas podem ter graus infinitamente altos — ou se existe um limite. Especialistas estão buscando exemplos de curvas elípticas com graus cada vez maiores. Mais recentemente, após um hiato de 18 anos, uma curva elíptica com grau de pelo menos 29 foi descoberta em agosto de 2024. Para construir essa curva, os especialistas criaram uma seção transversal de objetos em dimensões superiores, cujo limite corresponde à curva elíptica.
E agora, apenas dois anos depois, um modelo de linguagem de IA forneceu dois exemplos de curvas elípticas de um nível ainda mais elevado. Alpöge e Howell — ambos com amplo conhecimento prévio na área de pesquisa de curvas elípticas — obtiveram esse resultado usando um estímulo relativamente simples. O modelo de linguagem que eles utilizaram é uma variante interna do Claude, que não está disponível publicamente.
A notícia surge na sequência do surpreendente anúncio da OpenAI na semana passada, de que seu próprio modelo havia resolvido o problema de Navier-Stokes, um dos sete Problemas do Milênio.
